Problemas de Algebra Computacional

Hoy me he propuesto presentar una serie de problemas tras un largo tiempo sin escribir nada, de algebra computacional a si que para su resolucion requeriremos de algun lenguaje de programacion.

Problema 1

Encuentra el numero capicua mas grande que se pueda generar con dos numeros de 3 cifras.

Ejemplo    9009=91*99 y es el maximo numero capicua que se puede obtener con dos numeros de dos cifras

Problema 2

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450


Dada el numero de 1000 cifras anterior encontrar una concatenacion de 5 cifras consecutivas tal que su producto sea maximo y dar el producto de los mismos

Sucesion Fibonacci

Se denomina sucesion Fibonacci a la siguiente sucesion de numeros naturales:

       1,1,2,3,5,8,13.....   En general  F(1)=F(2)=1    y   F(n) =F(n-1)+F(n-2)    (1)

Cada uno de los numeros de dicha sucesion se denomina numero de fibonacci, esta sucesion aparece en numeros hechos naturales que trataremos posteriomente asi como, y es de gran utilidad en diferentes ramas de las matematicas en las que posteriormente profundizaremos.

Leonardo de Pisa posteriormente llamado Fibonacci en honor a su padre fue el creador de dicha sucesion que a priori no fue mas que la solucion a uno de los problemas de "Liber Abaci",que enuncia lo siguiente:

"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también"

La solucion al problema es bastante evidente,trataremos de exponerla de forma bastante trivial.

MES 1: La pareja inicial no puede procrear.                                                                                1
MES 2: La pareja inicial ya esta en edad de procrear pero aun no han nacido nuevos conejos      1
MES 3: La pareja inicial  mas la nueva pareja de conejos que debe esperar un mes a procrear     2
MES 4: La pareja inicial vuelve a procrear , la nueva ya esta en edad de hacerlo asi pues             3
MES 5: Las tres parejas (mes 4) y y dos nuevas parejas (mes 3) que han procreado                   5
.............................................................................................................................................
MES N: Las parejas del mes n-1 mas las procreadas por los conejos del mes n-2 asi pues
                            Conejos del mes N= Conejos del mes (N-1)+Conejos del mes (N-2)

¿Ahora bien existe una expresion NO recurrente para la sucesion fibonacci?

La respuesta es afirmativa, aunque el calculo de la misma no es del todo elemental realizaremos una demostracion detallada de este hecho.
La demostracion no es mas que obtener una solucion particular de un sistema dinamico discreto lineal de segundo orden.

                                                        A(n+2)=A(n+1)+A(n)              Notese que el sistema es idem a (1)                                                

Ya hemos visto como obtener sin necesidad de una ley de recurrencia cual es el n-esimo termino de la sucesion fibonacci ahora bien, estudiaremos algunas de las particularidades de estos numeros.

¿A que tiende el cociente de dos numeros consecutivos de la sucesion de fibonacci cuando estos son lo suficientemente grandes?  

La respuesta es que su cociente tiende al NUMERO AUREO, para ser rigurosos hay k demostrar la existencia del limite esto es probar que:

                            

y en efecto se verifica fijado un epsilon mayor que 0 existe un n lo suficientemente grande para que satisfaga la condicion anterioir veamoslo:

                                         Imagen de Fibonnacci




Hemos visto que el cociente de dos numeros consecutivos fibonacci converge al numero aureo (suponiendo la existencia del limite y conociento la definicion formal del numero aureo, podriamos haber calculado su limite de forma instantanea sin necesidad de recurrir a la definicion de limite, y encontrar un n para cada epsilon)

¿Cual es la definicion formal de numero aureo? ¿Por que es tan importante la existencia de este numero y donde se ve reflejado, lo que se dnomina la proporcion aurea?

Se define el numero aureo (PHI) como la solucion positiva de la ecuacion polinomica:

La aparicion del numero aureo asi como la aparicion de las raices cuadradas de los numeros primos marco un antes y un despues en la matematica griega, lo que llamaban los incomensurables, la existencial de los cualesfue obviada por la escuela de los pitagoricos durante largos años. Si el numero aureo es un numero importante para la matematica clasica es precisamente por ese hecho, es un numero incomensurable (irracional), solucion de la siguiente ecuacion polinomica (cabe destacar que los griegos no conocian las estructuras elementales del algebra moderna, luego nunca se intento buscar un solucion al polinomio que expondremos si no que intentaron dividir un segmento "en media y extrema razon", esto es obtener un cero del polinomio que sea positivo de forma grafica con el uso de regla y compas).

continua...

Triangulo Morley

"Si trisecamos los tres angulos de un triangulo cualesquiera entonces las rectas adyacentes a cada uno de los lados generados por dicha triseccion se intersecan dos a dos generando un nuevo triangulo que es siempre, sea cual sea el inicial, un triangulo equilatero."
La demostracion de este hecho no es sencilla aqui trataremos a lo largo de esta semana una demostracion sintetica de este hecho.
Ademas de tratar la validez de la propiedad del triangulo de  Morley demostraremos que este hecho no es aplicable a otro tipo de multiseccion, pues existen numerosos contrajemplos que nos llevara a demostrar de forma inequivoca que no existe ninguna otra multiseccion distinta de la triseccion tal que el triangulo generado sea equilatero tambien realizaremos una demostracion sintetica de este hecho que es un corolario de la propiedad del Triangulo de Morley (Basta ver que el teorema se verifica unicamente para n=3)

Problema: Raices Reales de un Polinomio

Sea el polinomio P(x) de grado tres que aparece a continuacion. Probar que si sus tres ceros son reales entonces el valor de p debe ser menor que 0.

Solucion:

Divisibilidad

Sea un numero natural de la forma  abc  siendo a la cifra de las centenas b decenas y c unidades.
Probar que el numero  cab y bca son divisibles por 37 si abc es divisible por 37

NOTA: Resolver con ayuda de congruencias lineales

Solucion:

Sistema de ecuaciones

Albert Einstein y el problema del 2%

Einstein fue quien propuso este problema, y mostró su convencimiento de que no más del 2% de la población del mundo podría resolverlo.

Condiciones iniciales:

• Tenemos cinco casas, cada una de un color.
• Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente.
• Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente.
• Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.

1.	El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul.
2.	El que vive en la casa del centro toma leche.
3.	El inglés vive en la casa roja.
4.	La mascota del sueco es un perro.
5.	El danés bebe té.
6.	La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.
7.	El de la casa verde toma café.
8.	El que fuma PallMall cría pájaros.
9.	El de la casa amarilla fuma Dunhill.
10.	El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.
11.	El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12.	El que fuma BlueMaster bebe cerveza.
13.	El alemán fuma Prince.
14.	El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.
	¿Quién tiene peces por mascota? Determinar en cada caso para cada una de las casas del problema, la marca de tabaco preferida, las mascota, la bebida preferida, el color de la casa y la nacionalidad del residente de la misma. Color de las Casas:    Amarilla, Azul, Blanca, Verde, Roja. Nacionalidades:    Aleman, Danes, Noruego, Sueco, Ingles. Mascotas:   Peces, Perros, Caballos, Pajaros, Gatos. Bebidas:    Agua, Cafe, Te, Leche, Cerveza. Tabaco:   Dunhill, Blend, BlueMaster, PalMall, Prince.