1,1,2,3,5,8,13..... En general F(1)=F(2)=1 y F(n) =F(n-1)+F(n-2) (1)
Cada uno de los numeros de dicha sucesion se denomina numero de fibonacci, esta sucesion aparece en numeros hechos naturales que trataremos posteriomente asi como, y es de gran utilidad en diferentes ramas de las matematicas en las que posteriormente profundizaremos.
Leonardo de Pisa posteriormente llamado Fibonacci en honor a su padre fue el creador de dicha sucesion que a priori no fue mas que la solucion a uno de los problemas de "Liber Abaci",que enuncia lo siguiente:
"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también"
La solucion al problema es bastante evidente,trataremos de exponerla de forma bastante trivial.
MES 1: La pareja inicial no puede procrear. 1
MES 2: La pareja inicial ya esta en edad de procrear pero aun no han nacido nuevos conejos 1
MES 3: La pareja inicial mas la nueva pareja de conejos que debe esperar un mes a procrear 2
MES 4: La pareja inicial vuelve a procrear , la nueva ya esta en edad de hacerlo asi pues 3
MES 5: Las tres parejas (mes 4) y y dos nuevas parejas (mes 3) que han procreado 5
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MES N: Las parejas del mes n-1 mas las procreadas por los conejos del mes n-2 asi pues
Conejos del mes N= Conejos del mes (N-1)+Conejos del mes (N-2)
¿Ahora bien existe una expresion NO recurrente para la sucesion fibonacci?
La respuesta es afirmativa, aunque el calculo de la misma no es del todo elemental realizaremos una demostracion detallada de este hecho.
La demostracion no es mas que obtener una solucion particular de un sistema dinamico discreto lineal de segundo orden.
A(n+2)=A(n+1)+A(n) Notese que el sistema es idem a (1)
Ya hemos visto como obtener sin necesidad de una ley de recurrencia cual es el n-esimo termino de la sucesion fibonacci ahora bien, estudiaremos algunas de las particularidades de estos numeros.
¿A que tiende el cociente de dos numeros consecutivos de la sucesion de fibonacci cuando estos son lo suficientemente grandes?
La respuesta es que su cociente tiende al NUMERO AUREO, para ser rigurosos hay k demostrar la existencia del limite esto es probar que:
y en efecto se verifica fijado un epsilon mayor que 0 existe un n lo suficientemente grande para que satisfaga la condicion anterioir veamoslo:
Imagen de Fibonnacci
Hemos visto que el cociente de dos numeros consecutivos fibonacci converge al numero aureo (suponiendo la existencia del limite y conociento la definicion formal del numero aureo, podriamos haber calculado su limite de forma instantanea sin necesidad de recurrir a la definicion de limite, y encontrar un n para cada epsilon)
¿Cual es la definicion formal de numero aureo? ¿Por que es tan importante la existencia de este numero y donde se ve reflejado, lo que se dnomina la proporcion aurea?
Se define el numero aureo (PHI) como la solucion positiva de la ecuacion polinomica:
La aparicion del numero aureo asi como la aparicion de las raices cuadradas de los numeros primos marco un antes y un despues en la matematica griega, lo que llamaban los incomensurables, la existencial de los cualesfue obviada por la escuela de los pitagoricos durante largos años. Si el numero aureo es un numero importante para la matematica clasica es precisamente por ese hecho, es un numero incomensurable (irracional), solucion de la siguiente ecuacion polinomica (cabe destacar que los griegos no conocian las estructuras elementales del algebra moderna, luego nunca se intento buscar un solucion al polinomio que expondremos si no que intentaron dividir un segmento "en media y extrema razon", esto es obtener un cero del polinomio que sea positivo de forma grafica con el uso de regla y compas).
continua...
