Los Polinomios de Henrik Abel

Si les digo cual es la expresion algebraica que resuelve ecuaciones de segundo grado en forma generica, todo el mundo sabe que vienen dadas por:

Ahora bien, aun podemos complicar la cosa un poco mas, y pedir cual es la expresion algebraica que nos da como resultado las soluciones a una ecuacion de grado tres, en el caso general resulta complicado obtener dichas soluciones con la expresion algebraica por su complejidad(extremadamente larga), por lo cual se emplean otros metodos (Ruffini, cambio de variable...) aun asi sus soluciones algebraicas vienen dadas por la siguiente funciones matematicas.

                                       

                                                 

 

Aun la podemos seguir complicando un poco mas, preguntando cuales son las soluciones a una ecuacion de cuarto en grado en forma generica, para ello existe otra expresion algebraica que nos proporciona las cuatro soluciones (como maximo, segun el teorema fundamental del algebra) que posee la ecuacion, las expresiones son aun mas tediosas y complicadas que en el grado 3, por lo que como anteriormente hemos comentado, existen metodos alternativos para la solucion de la misma (Ruffini , cambio de variable...) la expresiones algebraicas son las siguientes:

 

Ahora bien un precoz matematico noruego llamado Niels Henrik Abel demostro a sus 22 años que no es posible encontrar ninguna expresiones algebraicas en terminos de sus coeficientes que nos proporcionen como resultados las raices o los ceros de ninguna ecuacion polinomica de grado igual o superior a 5.

Las raices de este tipo de ecuaciones de grado mayor o igual que 5 no puede venir dadas por expresiones algebraicas como fue demostrado por Abel en 1824, aunque por supuesto si que posean solucion. Existen metodos para la resolucion de estas, como por ejemplo Ruffini para casos particulares, cambio de variable, y el quizas mas importante y mas util para obtener las raices de una funcion polinomica de grado N ... "El teorema de Bolzano" , nos proporciona las raices exactas con el metodo de las aproximaciones sucesivas en algunos casos, y en otros polinomios con raices mas complejas, una aproximacion muy fiel (en numerosas ocasiones con ayuda de ordenadores) a cada una de las raices de dicho polinomio.






Niels Henrik Abel fue una gran promesa de la matematica, aunque su sueño se vio truncado por su precoz muerte, de la que poco se sabe y mucho se habla (pulmonia, suicidio...)
En honor a este matematico en potencia muerto a los 27 años se entregan cada año los premios de las matematicas mas importantes en todo el mundo, los premios Abel en honor a este.