El milagro hecho formula:

Esta quizá sea una de las indentidades que suscitan mas fascinacion por aficionados a las matematicas y a la vez  evocan un grado de belleza insuperable... en la cual se relacionan los 5 números mas representativos de la matematica, si,  no hablo de otra identidad que la demostrada por el matematico Leonard Paul Euler que en honor a él, se designa como Identidad Euler.

La belleza de la expresion es incuatificable, calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1,e,i y π.
En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia». (Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta)

La identidad es una particularizacion de la funcion exponencial compleja (Formula de Euler) que demostraremos a continuacion:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie Taylor:

Sustituímos x por z·i, usamos que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

 

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

 

llegamos a:

particularizamos la expresion para z="pi"

  (q.e.d.)

Euler nunca busco la relacion entre estos numeros de forma explicita. La obtencion de la identidad probablemente fue producto de la casualidad, y la particularizacion de dicha expresion para el caso z="pi" aunque por supuesto nadie duda de las incuatificables dotes de este gran matematico, uno de los grandes de la historia.