Gauss y Euler como moneda de cambio...

1- Billete de CARL FRIEDRICH GAUSS de 10 marcos alemanes.
2- Billete de LEONARD PAUL EULER de 10 francos Suizos.

Recta Euler

aricentro, circuncentro y ortocentro de un triangulo cualesquiera, estan alineados siendo la distancia del ortocentro al baricentro el doble de la distancia del baricentro al circuncentro de dicho triangulo, demostrada por el matematico suizo a mediados del siglo XVIII.

La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»

H.S.M Coxeter en relacion al trabajo de Euler

A continuacion adjunto un dibujo que nos servira de utilidad para dar una interpretacion geometrica a la demostracion algebraica que a continuacion facilitare.

Demostracion de la Recta Euler

 

 

Calculo de Area

Determine el area que conforman las tres circunferencia en su interior.

"La zapatilla de Fermat"

En esta zapatilla aparece recogida parte de la demostracion que Andrew Wiles proporciono del ultimo Teorema de Fermat, recogido en uno de los articulos del blog.Estan a  la venta en tiendas americanas al precio de 60€

Sucesion

Se considera la siguiente funcion definida para todo numero natural:

Obtener la suma de sus n primeros terminos.

Juego de numeros

Se propone obtener en todas las identidades el numero 6 como combinaciones de operaciones: suma, resta division, multiplicacion, raiz cuadrada,logaritmo neperiano y operaciones elementales de combinatoria.

 1                     1                        1  =  6

 2                     2                        2  =  6

 3                     3                        3  =  6

4                     4                        4  =  6

5                     5                        5  =  6

6                     6                        6  =  6

7                     7                        7  =  6

8                     8                        8  =  6

9                     9                        9  =  6


SOLUCION:

1º    1+1+1!

2º    2+2+2

3º    3 x 3-3

4º    sqrt (4) +sqrt (4) +sqrt (4)

5º    (5/5)+5

6º    6+6-6

7º    7-(7/7)

8º    8-sqrt(sqrt(8+8))

9º    (9+9)/sqrt(9)

Madrid ¿Olimpica?

Demostracion Alternativa a la formula de Heron

"El area de un triangulo viene dado por la raiz cuadrada del producto del semiperimetro por el semiperimetro menos cada uno de sus lados"

Hallar el area de la interseccion.

Determinese el area de la interseccion entre ambos cuadrados (ABCD y PQRS) sabiendo que la longitud del segmento DA= 3cm, que la longitud del segmento PQ= 4cm y que P se encuentra situado en el centro geométrico del cuadrado ABCD

Literatura cientifica ¿Contingente?

Cuando comienzas de verdad a convertirte en un matemático el momento clave es cuando te das cuenta que tienes que dejar de leer libros. Tienes que crearlos. Tienes que convertirte en una autoridad por ti mismo.

Utilidad de las matematicas...

Cuando era adolescente pensaba que si fuera posible ser matemático, querría serlo. Desde un punto de vista práctico, naturalmente era muy difícil decidir estudiar matemáticas en la universidad, ya que vivir de las matemáticas era extremadamente difícil.

Stanislaw Marcin Ulam

El milagro hecho formula:

Esta quizá sea una de las indentidades que suscitan mas fascinacion por aficionados a las matematicas y a la vez  evocan un grado de belleza insuperable... en la cual se relacionan los 5 números mas representativos de la matematica, si,  no hablo de otra identidad que la demostrada por el matematico Leonard Paul Euler que en honor a él, se designa como Identidad Euler.

La belleza de la expresion es incuatificable, calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1,e,i y π.
En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia». (Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta)

La identidad es una particularizacion de la funcion exponencial compleja (Formula de Euler) que demostraremos a continuacion:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie Taylor:

Sustituímos x por z·i, usamos que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

 

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

 

llegamos a:

particularizamos la expresion para z="pi"

  (q.e.d.)

Euler nunca busco la relacion entre estos numeros de forma explicita. La obtencion de la identidad probablemente fue producto de la casualidad, y la particularizacion de dicha expresion para el caso z="pi" aunque por supuesto nadie duda de las incuatificables dotes de este gran matematico, uno de los grandes de la historia.

Calcular el area

Sabemos que a=17 b=10 y c=21 y que el rectangulo inscrito PQRS tiene perimetro 22.Calculese el area del triangulo en funcion de los datos expuestos sabiendo que ABC es un triangulo cualesquiera y el area del rectangulo PQRS.
Nota: No se pueden aplicar razones trigonometricas, ni teoremas tanto del seno ni del coseno para su resolución.

Pedro Puig Adam

“Tended a ser un poco aprendices de todo, para vuestro bien, y maestros en algo, para bien de los demás"

Pedro Puig Adam (Matematico Español 1900-1960)

Un gran sabio español

El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?

Miguel de Guzman

Teorema de Thales: Axioma para las escuelas

"Si dos rectas coplanarias son cortadas por un haz de paralelas los segmentos de la primera son proporcionales a los de la segunda"

El ultimo teorema de fermat

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Pierre de Fermat

Esas fueron las palabras de uno de los mas grandes matematicos de la epoca,anotadas en un libro sobre la aritmetica de Diofanto, ante el que sería uno de los problemas mas longevos de la matematica moderna. Todavía hoy en dia se tienen serias dudas de si fue capaz de encontrar dicha demostración, o fue unicamente un alarde de ego, en busca de un reconocimiento de todos los matemáticos de la época.

Si n es un número entero mayor que 2 (o sea, n > 2), entonces no existen números enteros a, b y c distintos de 0, tales que cumplan la igualdad:

El problema nace de la generalización, que realiza el propio Fermat, sobre la descomposición de un numero en suma de dos cuadrados tratada en la aritmetica de Diofanto.Nadie fue capaz de obtener dicha demostracion, cuentan que tal era el grado de interés por ese problema de matemáticos tan prestigiosos como Leonard Euler que mandaron registrar la casa de Fermat en busca de la solución al teorema. Durante mas de 350 años fueron ínfimas la aportaciones a la solucion del teorema (Para n=3,4,5,6 y 7) nunca llegando a la solución para todo n. Fue en 1995 cuando un matemático britanico Andrew Wiles demostró tras años de investigación el teorema de Taniyama-Shimura (con anterioridad conjetura, que relaciona curvas modulares y elipticas) con el que demostraría posteriormente el teorema en su totalidad, el articulo inicial contenia 95 paginas, en las que se localizó un error que tuvo que ser corregido tiempo después.

Durante su exposición, se encontraban matematicos mas prestigiosos del mundo, Wiles no llego a terminar la demostracion cuando se dio la vuelta y dijo "creo que lo dejare aqui".

El escepticismo ante la autoria de Fermat saltó cuando se supo de la necesidad de la aplicación de técnicas matemáticas que no se conocian en el periodo de Fermat.

"Para los matematicos hoy es un dia triste, se ha puesto fin al problema mas ambicioso en la teoria de los numeros de los ultimos 3 siglos"

Resulta curioso que un problema "a priori" intuituvo y facil de entender por un amplio colectivo de personas haya condenado a los mejores matematicos de las mejores épocas al fracaso en su demostración.Teniendo que esperar mas de 350 años para fascinarse con la resolucion del mismo.

Proximas Entradas

Grigori Perelmán

Leonard Paul Euler

Demostracion al teorema de Thales

 

Obtener el area de la corona circular

El problema consiste en hallar el area de la corona circular conformada por ambas circunferencias concentricas conociendo la longitud del segmento BC, tangente a la circunferencia de menor radio (Adjunto el grafico para facilitar la interpretacion geometrica)    

GRADO DE DIFICULTAD:   1    La semana que viene se publicara la solucion al mismo

SOLUCION= La solucion es casi trivial basta considerar d=BC/2 es decir desde el punto de tangencia a B por otro lado tenemos los radios R y r   R=AB y r=AT siendo T el punto de tangencia, claro que el triangulo conformado por AB,AT y BC/2 es rectangulo aplicamos el teorema de pitagoras en lo sucesivo, pero  A corona=pi*R^2-pi*r^2 =pi(R^2-r^2)=pi(AB^2-AT^2) , pero aplicando la relacion pitagorica se tiene que AB^2=AT^2+(BC/2)^2, en particular AB^2-AT^2=(BC/2)^2 sustituyendo en la expresion anterior tenemos el resultado  A corona=pi*(BC/2)^2                       q.e.d.

IRRACIONALIDAD DE RAIZ DE 3

Comentario de Richard Dedekind

Se ha convertido casi en un comentario cliché, que nadie hoy en día alardea de ser un ignorante en literatura, pero es aceptable socialmente alardear de ignorar la ciencia y afirmar orgulloso que se es un incompetente en matemáticas.

RD

El genio entre los genios

"Empleo la palabra prueba no en el sentido de los abogados, para quienes dos medias pruebas son una prueba completa, sino en el sentido matemático, donde 1/2 de prueba es igual a 0 y se exige de una demostración que haga imposible cualquier género de duda" CFG

Que mejor manera de empezar el blog que haciendo honor al matematico mas importante de todos los tiempos. Johann Carl Friedrich Gauss




Con tan solo 10 años ya apuntaba maneras, cuentan que su profesor estaba molesto por algún mal comportamiento del grupo y les puso un problema en la pizarra que según el les tomaría un buen rato terminar.Este consistia en sumar los primeros los 100 primeros numeros naturales... esperó al fin de la clase para escribir su resultado sin necesidad de realizar la tediosa operacion.
5050 fue el numero que unicamente aperecio en su papel, con aquella edad ya habia demostrado s(100)=((100+1) x 100)/2.
Quizas no eran los suficientes ingredientes para que un chaval adolescente triunfara en el siglo XVIII necesito la ayuda de un "cazatalentos" el duque de ferdinand... el cual se quedo fascinado con las incuantificables cualidades de gauss.
Brillantes aportaciones al campo de la matematica, con tan solo 22 años demostro el teorema fundamental del algebra, y tan solo dos años despues publico uno de los libros mas transcedentales sobre la teoria de los numeros hasta la actualidad.Años despues intentó demostrar el que para entonces era uno de los problemas que mas expectacion creaba , siendole imposible resolverlo para todo n>2 (si hablo del teorema de fermat que continuo siendo una incognita hasta 1995)
Ni su persona, ni por supuesto su obra ha dejado indiferente a nadie tornandose en el mejor matematico de la historia, sus aportaciones son hoy en dia vitales para el desarrollo de la teoria elemental de los numeros.